もう一回問題文
２つの封筒Ａ、Ｂがあり、片方にはもう片方の倍の金額のお金が入っています。
どちらかひとつがあなたのものになります。
あなたはＡの封筒を開けると10000円入っていました。
ですが封筒Ａを諦めて、Ｂの封筒に取り替えてもいいそうです。
取り替えるべきでしょうか？
封筒Ｂの中身は20000円か5000円で、確率は半々だから、
※期待値 = 20000 * 1/2 + 5000 * 1/2 = 12500 円
Ｂに取り替えたほうがいい、という結論になります。
以下は僕が掲示板に書き込んだレスをいじったものです。
この問題の趣旨は、まあ普通に考えてどちらを選んでも期待値は変わらないはずが、問題文の論法でいくと（とりあえず期待値で言えば）取り替えるほうが得という結論になるパラドクスはなぜ生まれるのか、ということのはず。というかそういうことにする。
後者の論法はやはり「20000と5000が入っている確率が同様に確からしい」が違う。封筒に入っている金額をa,2aとするとき「封筒のうち大きい金額が入っているのを選ぶ確率と少ないのを選ぶ確率は半々なので期待値は1/2ずつで計算してよい」は何故おかしいか。
例えば「10000円を見たうえで5000円が入っている確率」と同様に確からしいのは（それは起こらなかったことが既に分かっているが）「はじめに5000円を見たうえでもう片方に10000円が入っている確率」、つまりaとして5000が選ばれていた場合での話であって「aとして10000が選ばれたうえではじめに10000を見る確率」ではない。これがこのパラドクスの肝。
鄯）aの確率分布が定まっていない、Ｐ（a＝適当な数）が定義されないとき
このときaとして5000が選ばれていたか10000が選ばれていたかは全く別の次元の話で、それらの事象は確率によって比較できない。よって期待値は不明（定義されない）であって問題文の論法は誤りであり矛盾は起こらない。
鄱）ａの確率分布が適当に決まっているとき
このとき5000と20000の起こる確率、割合はP（a=5000）*1/2:P(10000)*1/2であって１：１ではなくやはり問題文の論法はおかしい。この場合はどちらが期待値を大きく出来るかは一意に定まる(この場合には「１００００円」という情報に意味があるので対等性が崩れる)。
矛盾を起こさない方法は「期待値はどちらも等しい」だけでなく「期待値は定義されない」というやり方もある。
まだ１０時半ですが明日は４時起きなのでもう寝ます
