東風荘の超ランは年々平均Ｒが上昇しています。これは別に｢超ランプレイヤーの平均レベルが上がった｣ということではなく(まあ科学する麻雀で確実に平均レベルも上がったとは思いますが全体の平均レベルが上がっても平均Ｒは上がりません)、東風荘のＲシステムの構造上の問題なのです。
４００試合数以上こなしたプレイヤーのＲ変動は｢順位点(１位＋６、２位＋２、３４位はその逆)＋(自分のＲ−他家平均Ｒ)/300｣で与えられ、ここから計算すると｢試合後と試合前でプレイヤーのＲの総和は変わらない｣というＲ保存則とでもいうべきものが成立します。
さらに超ランでは一定以下のＲの人はプレイできないというルール上｢超落ち｣という現象が存在し、要はＲが1851.6以下の時に３位以下をとったり1855.6以下の時に４位をとると超ランから転落するわけです(他家平均Ｒが1970の場合)。これをＲ保存則の視点から見てみると｢超落ちが発生した瞬間超ラン全体での平均Ｒが(「超落ちしたプレイヤーが吐き出したＲ/超ランの人数」ぶんだけ)わずかに上昇する｣という事が分かります。一方で超落ちしたプレイヤーはというと普通のラン卓という超ランとは隔離された空間でＲを補給して超ランに戻ってくるので超ランでのＲ総和は上がる一方というわけです。厳密には｢途中抜け｣という行為によりＲの総和を減少させる(-30または-13)事は可能ですが、Ｒが大事な超ランプレイヤーは滅多に途中抜けしません(というか見た事ありません。絶望的な状況での回線切断は時々見ますが)。
さて問題はここから。年平均超ラン平均Ｒの上昇値を定量的に(オーダーだけ)計算しようと思います。
まずある瞬間に超ランでプレイしている人数の平均をTとし、そのうちＲが1851.6以下の人数をa、1855.6以下に人数をbとします。
まずaの人が３位を取ったことによるＲ平均値の上昇は(他家平均Ｒを1970として)1.6/Tで与えられ、同様にbの人が４位で超落ちした時は5.6/Tとなります。
次にこのような試合が発生する確率ですが、a,b＜＜Tより一卓に超落ち寸前の人が複数存在する可能性を無視すれば、３位落ちでは4*(a/T)、４位落ちでは4*(b/t)となります。
従って１試合あたりの平均Ｒ上昇値の期待値は(超落ち寸前の人がそれぞれ25%で３位４位を取ると仮定して)、E(試合)=(1.6/T)*(4a/T)/4+(5.6/T)*(4b/T)/4=(1.6a+5.6b)/T^2となります。
次にa/Tとb/Tを計算します。これは私の牌譜の実測値からも他家平均Ｒ1970・標準偏差62.4(凸本より)による正規近似からもa/T=0.19%、b/T=0.75%と計算され、少なくともオーダーは正しいので間違いないです。
さらにTを計算します。これは超ランに立っている平均卓数を8(私の感覚)とすれば8*4=32ですね。
最後に1年あたりの平均Ｒ上昇期待値E(年)を計算します。平均試合時間を20分として
E(年)=365日*24時間/20分*8卓*E(試合)=210000*E(試合)
E(試合)=(1.6*0.19%+5.6*0.75%)/32=0.0014
・・・あれ？E(年)=300になってもーた。ちなみに実測値は1年あたり５程度であり２桁も違う・・・誰か間違い指摘してくださいぷりーず。｢ある瞬間に超ランでプレイしている人数の平均をTとし｣みたいな設定がおかしいんですかね。でも重要なのはプレイヤー数ではなくて述べプレイ数だしよくわからん。
