東風荘研究 - ソクラテスのチラシの裏だったもの

ある製品の寿命が平均 $1/\lambda$ の指数分布 $f(x)=\lambda e^{-\lambda x}$ にしたがう時、使用中のその製品を任意に取り出したときにその製品の使用時間が $X$ である確率密度関数は
$f_\lambda(x) = \lambda\int_x^\infty \frac{e^{-\lambda t}}{t}dt$
で与えられる。ここで $f(x)=f_1(x)$ とすれば
$f_\lambda(x) = \lambda f(\lambda x)$
$E(X)=\frac{1}{2\lambda}$
$V(X)=\frac{5}{12\lambda^2}$
最終的に知りたいのは累積分布関数 $F(x)$ だが、数値積分を２回行うと誤差で死ぬので、計算は $+\infty$ 側( $+0$ 側では被積分関数 $\frac{e^{-x}}{x}$ および $f(x)$ が発散するので少々面倒)から一度だけ数値積分を行って $f(x)$ を求め、積分順序の変更を行って得られる公式
$F(x)=1-e^{-x}+x f(x)$
を使って $F(x+a)-F(x)$ を求める。

むう数式を大きく書けん